V. 矩形板的模态响应

查找矩形板的固有频率，并将理论答案与 STAAD.Pro 解决方案进行比较。

References

Blevins, Robert D., Formulas for Natural Frequency and Mode Shape, Van Nostrand Reinhold Company, 1979, page 258.

Details

一个平坦的矩形板在四边均为简支。  使用 STAAD.Pro 提供的子空间迭代法计算该结构的前六阶振型及其相关固有频率。 此问题还表明，可以根据预期的振型选择网格细化以准确计算感兴趣的振型。

Figure 1. 简支矩形板

L = 45 in., W = 30 in., t = 0.2 in.

使用长宽比为1.5的板，以便与参考文献中列出的板的理论结果进行比较。 在板的x和y维度上均采用等间距网格。每个维度的单元数量基于感兴趣的最高振型确定。  由于第六阶振型在长度方向上的半波数为3，在宽度方向上的半波数为2，3.75英寸的节点间距使得每个半波由四个单元表示， 这意味着预计没有单元会发生双曲率变形。简支边缘条件要求这些边缘节点在板平面法向的位移受到约束。 所有节点在板法向的转动均受到约束。

Figure 2. 模型：有限元网格划分

Calculations

理论计算

根据参考文献表11-4中的案例16，板的前六阶固有频率由以下方程描述：

where

i
=
沿水平轴的该振型中的半波数
j
=
沿垂直轴的该振型中的半波数
ν
=
泊松比
E
=
弹性模量
h
=
板厚度
γ
=
单位面积材料质量
a
=
板长度
b
=
板宽度

本示例使用的数值为：

ν = 0.30
E =30.0×106 psi
h=0.2 inches
a = 45.0 in
b = 30.0 in

使用上述数值

λ2 ij 根据参考文献列表如下：

Table 1. λ2ij 值
振型编号 λ2 ij 长度方向半波数 (i) 宽度方向半波数 (j)
1 32.08 1 1
2 61.69 2 1
3 98.70 1 2
4 111.0 3 1
5 128.3 2 2
6 177.7 3 2

Results

Table 2. 结果比较
振型编号 理论值  STAAD.Pro 差异
1 30.94 30.599 1.1%
2 59.49 58.724 1.3%
3 95.18 95.063 可忽略
4 107.1 106.277 0.8%
5 123.7 122.092 1.3%
6 171.3 168.009 1.9%

如前所述，节点间距基于感兴趣的最高振型。因此，理论值与 STAAD.Pro 频率之间的差异通常随振型序列的增加而增大。

Input

文件 C:\Users\Public\Public Documents\STAAD.Pro 2026\Samples \Verification Models\08 Dynamic Analysis\Modal Response of a Rectangular Plate.STD 通常随程序安装。

STAAD

STAAD SPACE
START JOB INFORMATION
ENGINEER DATE 14-Sep-18
END JOB INFORMATION
* Natural frequencies of a rectangular plate
UNIT INCHES POUND
JOINT COORDINATES
1 0 0 0; 2 3.75 0 0; 3 7.5 0 0; 4 11.25 0 0; 5 15 0 0; 6 18.75 0 0;
7 22.5 0 0; 8 26.25 0 0; 9 30 0 0; 10 33.75 0 0; 11 37.5 0 0;
12 41.25 0 0; 13 45 0 0; 14 0 3.75 0; 15 3.75 3.75 0; 16 7.5 3.75 0;
17 11.25 3.75 0; 18 15 3.75 0; 19 18.75 3.75 0; 20 22.5 3.75 0;
21 26.25 3.75 0; 22 30 3.75 0; 23 33.75 3.75 0; 24 37.5 3.75 0;
25 41.25 3.75 0; 26 45 3.75 0; 27 0 7.5 0; 28 3.75 7.5 0; 29 7.5 7.5 0;
30 11.25 7.5 0; 31 15 7.5 0; 32 18.75 7.5 0; 33 22.5 7.5 0;
34 26.25 7.5 0; 35 30 7.5 0; 36 33.75 7.5 0; 37 37.5 7.5 0;
38 41.25 7.5 0; 39 45 7.5 0; 40 0 11.25 0; 41 3.75 11.25 0;
42 7.5 11.25 0; 43 11.25 11.25 0; 44 15 11.25 0; 45 18.75 11.25 0;
46 22.5 11.25 0; 47 26.25 11.25 0; 48 30 11.25 0; 49 33.75 11.25 0;
50 37.5 11.25 0; 51 41.25 11.25 0; 52 45 11.25 0; 53 0 15 0;
54 3.75 15 0; 55 7.5 15 0; 56 11.25 15 0; 57 15 15 0; 58 18.75 15 0;
59 22.5 15 0; 60 26.25 15 0; 61 30 15 0; 62 33.75 15 0; 63 37.5 15 0;
64 41.25 15 0; 65 45 15 0; 66 0 18.75 0; 67 3.75 18.75 0;
68 7.5 18.75 0; 69 11.25 18.75 0; 70 15 18.75 0; 71 18.75 18.75 0;
72 22.5 18.75 0; 73 26.25 18.75 0; 74 30 18.75 0; 75 33.75 18.75 0;
76 37.5 18.75 0; 77 41.25 18.75 0; 78 45 18.75 0; 79 0 22.5 0;
80 3.75 22.5 0; 81 7.5 22.5 0; 82 11.25 22.5 0; 83 15 22.5 0;
84 18.75 22.5 0; 85 22.5 22.5 0; 86 26.25 22.5 0; 87 30 22.5 0;
88 33.75 22.5 0; 89 37.5 22.5 0; 90 41.25 22.5 0; 91 45 22.5 0;
92 0 26.25 0; 93 3.75 26.25 0; 94 7.5 26.25 0; 95 11.25 26.25 0;
96 15 26.25 0; 97 18.75 26.25 0; 98 22.5 26.25 0; 99 26.25 26.25 0;
100 30 26.25 0; 101 33.75 26.25 0; 102 37.5 26.25 0; 103 41.25 26.25 0;
104 45 26.25 0; 105 0 30 0; 106 3.75 30 0; 107 7.5 30 0; 108 11.25 30 0;
109 15 30 0; 110 18.75 30 0; 111 22.5 30 0; 112 26.25 30 0; 113 30 30 0;
114 33.75 30 0; 115 37.5 30 0; 116 41.25 30 0; 117 45 30 0;
ELEMENT INCIDENCES SHELL
1 1 2 15 14; 2 2 3 16 15; 3 3 4 17 16; 4 4 5 18 17; 5 5 6 19 18;
6 6 7 20 19; 7 7 8 21 20; 8 8 9 22 21; 9 9 10 23 22; 10 10 11 24 23;
11 11 12 25 24; 12 12 13 26 25; 13 14 15 28 27; 14 15 16 29 28;
15 16 17 30 29; 16 17 18 31 30; 17 18 19 32 31; 18 19 20 33 32;
19 20 21 34 33; 20 21 22 35 34; 21 22 23 36 35; 22 23 24 37 36;
23 24 25 38 37; 24 25 26 39 38; 25 27 28 41 40; 26 28 29 42 41;
27 29 30 43 42; 28 30 31 44 43; 29 31 32 45 44; 30 32 33 46 45;
31 33 34 47 46; 32 34 35 48 47; 33 35 36 49 48; 34 36 37 50 49;
35 37 38 51 50; 36 38 39 52 51; 37 40 41 54 53; 38 41 42 55 54;
39 42 43 56 55; 40 43 44 57 56; 41 44 45 58 57; 42 45 46 59 58;
43 46 47 60 59; 44 47 48 61 60; 45 48 49 62 61; 46 49 50 63 62;
47 50 51 64 63; 48 51 52 65 64; 49 53 54 67 66; 50 54 55 68 67;
51 55 56 69 68; 52 56 57 70 69; 53 57 58 71 70; 54 58 59 72 71;
55 59 60 73 72; 56 60 61 74 73; 57 61 62 75 74; 58 62 63 76 75;
59 63 64 77 76; 60 64 65 78 77; 61 66 67 80 79; 62 67 68 81 80;
63 68 69 82 81; 64 69 70 83 82; 65 70 71 84 83; 66 71 72 85 84;
67 72 73 86 85; 68 73 74 87 86; 69 74 75 88 87; 70 75 76 89 88;
71 76 77 90 89; 72 77 78 91 90; 73 79 80 93 92; 74 80 81 94 93;
75 81 82 95 94; 76 82 83 96 95; 77 83 84 97 96; 78 84 85 98 97;
79 85 86 99 98; 80 86 87 100 99; 81 87 88 101 100; 82 88 89 102 101;
83 89 90 103 102; 84 90 91 104 103; 85 92 93 106 105; 86 93 94 107 106;
87 94 95 108 107; 88 95 96 109 108; 89 96 97 110 109; 90 97 98 111 110;
91 98 99 112 111; 92 99 100 113 112; 93 100 101 114 113;
94 101 102 115 114; 95 102 103 116 115; 96 103 104 117 116;
ELEMENT PROPERTY
1 TO 96 THICKNESS 0.2
DEFINE MATERIAL START
ISOTROPIC MATERIAL1
E 3e+07
POISSON 0.3
DENSITY 0.282
END DEFINE MATERIAL
CONSTANTS
MATERIAL MATERIAL1 ALL
CUT OFF MODE SHAPE 6
CUT OFF FREQUENCY 1000
SUPPORTS
* Corner nodes
1 13 105 117 FIXED BUT MX MY
* Nodes along y=0 and y=30
2 TO 12 106 TO 116 FIXED BUT MX MY
* Nodes along x=0
14 27 40 53 66 79 92 FIXED BUT MX MY
* Nodes along x=45
26 39 52 65 78 91 104 FIXED BUT MX MY
* Interior nodes
15 TO 25 28 TO 38 41 TO 51 54 TO 64 67 TO 77 80 TO 90 93 TO 102 -
103 FIXED BUT FZ MX MY
LOAD 1
SELFWEIGHT X 1 
SELFWEIGHT Y 1 
SELFWEIGHT Z 1 
MODAL CALCULATION REQUESTED
PERFORM ANALYSIS
FINISH

Output

               CALCULATED FREQUENCIES FOR LOAD CASE       1
       MODE            FREQUENCY(CYCLES/SEC)         PERIOD(SEC)
         1                      30.599                  0.03268 
         2                      58.724                  0.01703 
         3                      95.063                  0.01052 
         4                     106.277                  0.00941 
         5                     122.092                  0.00819 
         6                     168.009                  0.00595 
            MODAL WEIGHT (MODAL MASS TIMES g) IN POUN         GENERALIZED
      MODE           X             Y             Z              WEIGHT
         1       0.000000E+00  0.000000E+00  4.833474E+01    1.915440E+01
         2       0.000000E+00  0.000000E+00  9.476868E-17    1.920213E+01
         3       0.000000E+00  0.000000E+00  4.308438E-14    1.925532E+01
         4       0.000000E+00  0.000000E+00  4.837131E+00    1.927455E+01
         5       0.000000E+00  0.000000E+00  3.971700E-13    1.927602E+01
         6       0.000000E+00  0.000000E+00  2.329330E-10    1.936312E+01
 MASS PARTICIPATION FACTORS 
                     MASS  PARTICIPATION FACTORS IN PERCENT
                     --------------------------------------
           MODE    X     Y     Z     SUMM-X   SUMM-Y   SUMM-Z
             1     0.00   0.00  79.15    0.000    0.000   79.146
             2     0.00   0.00   0.00    0.000    0.000   79.146
             3     0.00   0.00   0.00    0.000    0.000   79.146
             4     0.00   0.00   7.92    0.000    0.000   87.066
             5     0.00   0.00   0.00    0.000    0.000   87.066
             6     0.00   0.00   0.00    0.000    0.000   87.066