V. 圆形板的模态响应

计算圆形板的固有频率，并将理论解与STAAD解进行比较。

References

Blevins, Robert D., Formulas for Natural Frequency and Mode Shape, Van Nostrand Reinhold Company, 1979, 第240页。

Details

一个扁平圆形板在整个周边简支。使用STAAD提供的子空间迭代法计算前六阶模态及其相关的固有频率。此问题演示了轴对称结构的固有频率可以通过使用180度模型和适当的边界条件准确计算。

Figure 1. 圆形板示意图

使用15度间隔的径向线建模180度扇形。然后使用关系定位切线，使得四边形板单元的纵横比约为1.0。所有垂直于板平面的转动被约束。所有节点的面内平移被约束，因为理论解不考虑面内效应。X=0.0处的节点关于全局Y轴的转动被约束，因为这是一个对称边界。外半径上所有节点的Z平移被约束以提供简支条件。

Figure 2. 半圆形板的有限元模型

应注意，板的外边缘是一系列割线而不是真正的弧线。这将导致板真实质量的损失约1%，或对于此问题有效的质量约0.5%。

因此，一些固有频率可能低于理论值而不是更高，这在使用板单元的有限元分析中很典型。此外，此问题的真正简支条件需要约束外边缘径向的转动分量。

Calculations

理论计算

从参考文献表11-1中的案例2，板的前六阶固有频率由以下方程描述：

= 与模态指数 i,j 相关的无量纲参数

where

i
=
该振型中的节径数
j
=
该振型中的节圆数，不包括边界
ν
=
泊松比
E
=
弹性模量
h
=
板厚度
γ
=
单位面积板质量
a
=
板半径

此示例使用的数值为：

ν = 0.30
E = 10.0×10P6 psi
h = 0.10 inches
a = 10.0 inches

使用上述数值

周期/秒。

λ2 ij 从参考文献中列表如下：

Table 1. λ2ij 值
模态编号 λ2 ij 节径数 (i) 节圆数 (j)
1 4.977 0 0
2 13.94 1 0
3 25.65 2 0
4 29.76 0 1
5(l)   3 0
6 48.51 1 1

(l) 未在参考文献中列表

Results

Table 2. 结果比较
模态编号 理论值 STAAD.Pro 差异 注释
1 47.12 46.060 2.2%
2 132.0 130.258 1.3%
3 242.8 239.541 1.3%
4 281.7 281.276 0.2%
5 *   372.181 n/a*
6 459.3 465.744 1.4%

*参考文献未列出结构第五阶模态的值，因此无法与此模态的理论值进行比较。

所有360°圆形板的反对称振型通过180°模型捕获，计算中包含了相位角。理论与STAAD.Pro频率之间的一些差异归因于外半径的分段割线表示导致的质量损失，并且由于此质量比真实圆形板低约1％，因此前几阶模态低于理论解并不令人惊讶。

Input

文件 C:\Users\Public\Public Documents\STAAD.Pro 2026\Samples \Verification Models\08 Dynamic Analysis\Modal Response of a Circular Plate.STD 通常随程序安装。

STAAD

STAAD SPACE
START JOB INFORMATION
ENGINEER DATE 14-Sep-18
END JOB INFORMATION
* Natural Frequencies of a Circular Plate
UNIT INCHES POUND
JOINT COORDINATES
1 -6.39758e-07 -1 0; 2 0.258818 -0.965926 0; 3 0.5 -0.866026 0;
4 0.707107 -0.707107 0; 5 0.866025 -0.5 0; 6 0.965926 -0.258819 0;
7 1 0 0; 8 0.965926 0.258819 0; 9 0.866025 0.5 0;
10 0.707107 0.707107 0; 11 0.5 0.866026 0; 12 0.258818 0.965926 0;
13 -6.39758e-07 1 0; 14 -1.43562e-06 -2.244 0; 15 0.580789 -2.16754 0;
16 1.122 -1.94336 0; 17 1.58675 -1.58675 0; 18 1.94336 -1.122 0;
19 2.16754 -0.58079 0; 20 2.244 0 0; 21 2.16754 0.58079 0;
22 1.94336 1.122 0; 23 1.58675 1.58675 0; 24 1.122 1.94336 0;
25 0.580789 2.16754 0; 26 -1.43562e-06 2.244 0;
27 -2.23148e-06 -3.488 0; 28 0.902759 -3.36915 0; 29 1.744 -3.0207 0;
30 2.46639 -2.46639 0; 31 3.0207 -1.744 0; 32 3.36915 -0.902761 0;
33 3.488 0 0; 34 3.36915 0.902761 0; 35 3.0207 1.744 0;
36 2.46639 2.46639 0; 37 1.744 3.0207 0; 38 0.902759 3.36915 0;
39 -2.23148e-06 3.488 0; 40 -2.90386e-06 -4.539 0;
41 1.17478 -4.38434 0; 42 2.2695 -3.93089 0; 43 3.20956 -3.20956 0;
44 3.93089 -2.2695 0; 45 4.38434 -1.17478 0; 46 4.539 0 0;
47 4.38434 1.17478 0; 48 3.93089 2.2695 0; 49 3.20956 3.20956 0;
50 2.2695 3.93089 0; 51 1.17478 4.38434 0; 52 -2.90386e-06 4.539 0;
53 -3.77841e-06 -5.906 0; 54 1.52858 -5.70476 0; 55 2.953 -5.11475 0;
56 4.17617 -4.17617 0; 57 5.11475 -2.953 0; 58 5.70476 -1.52859 0;
59 5.906 0 0; 60 5.70476 1.52859 0; 61 5.11475 2.953 0;
62 4.17617 4.17617 0; 63 2.953 5.11475 0; 64 1.52858 5.70476 0;
65 -3.77841e-06 5.906 0; 66 -4.91654e-06 -7.685 0;
67 1.98902 -7.42314 0; 68 3.8425 -6.65541 0; 69 5.43411 -5.43412 0;
70 6.6554 -3.8425 0; 71 7.42314 -1.98903 0; 72 7.685 0 0;
73 7.42314 1.98903 0; 74 6.6554 3.8425 0; 75 5.43411 5.43412 0;
76 3.8425 6.65541 0; 77 1.98902 7.42314 0; 78 -4.91654e-06 7.685 0;
79 -6.39758e-06 -10 0; 80 2.58818 -9.65926 0; 81 5 -8.66026 0;
82 7.07107 -7.07107 0; 83 8.66025 -5 0; 84 9.65926 -2.58819 0;
85 10 0 0; 86 9.65926 2.58819 0; 87 8.66025 5 0; 88 7.07107 7.07107 0;
89 5 8.66026 0; 90 2.58818 9.65926 0; 91 -6.39758e-06 10 0; 1000 0 0 0;
ELEMENT INCIDENCES SHELL
1 1000 1 2; 2 1000 2 3; 3 1000 3 4; 4 1000 4 5; 5 1000 5 6; 6 1000 6 7;
7 1000 7 8; 8 1000 8 9; 9 1000 9 10; 10 1000 10 11; 11 1000 11 12;
12 1000 12 13; 13 1 14 15 2; 14 2 15 16 3; 15 3 16 17 4; 16 4 17 18 5;
17 5 18 19 6; 18 6 19 20 7; 19 7 20 21 8; 20 8 21 22 9; 21 9 22 23 10;
22 10 23 24 11; 23 11 24 25 12; 24 12 25 26 13; 25 14 27 28 15;
26 15 28 29 16; 27 16 29 30 17; 28 17 30 31 18; 29 18 31 32 19;
30 19 32 33 20; 31 20 33 34 21; 32 21 34 35 22; 33 22 35 36 23;
34 23 36 37 24; 35 24 37 38 25; 36 25 38 39 26; 37 27 40 41 28;
38 28 41 42 29; 39 29 42 43 30; 40 30 43 44 31; 41 31 44 45 32;
42 32 45 46 33; 43 33 46 47 34; 44 34 47 48 35; 45 35 48 49 36;
46 36 49 50 37; 47 37 50 51 38; 48 38 51 52 39; 49 40 53 54 41;
50 41 54 55 42; 51 42 55 56 43; 52 43 56 57 44; 53 44 57 58 45;
54 45 58 59 46; 55 46 59 60 47; 56 47 60 61 48; 57 48 61 62 49;
58 49 62 63 50; 59 50 63 64 51; 60 51 64 65 52; 61 53 66 67 54;
62 54 67 68 55; 63 55 68 69 56; 64 56 69 70 57; 65 57 70 71 58;
66 58 71 72 59; 67 59 72 73 60; 68 60 73 74 61; 69 61 74 75 62;
70 62 75 76 63; 71 63 76 77 64; 72 64 77 78 65; 73 66 79 80 67;
74 67 80 81 68; 75 68 81 82 69; 76 69 82 83 70; 77 70 83 84 71;
78 71 84 85 72; 79 72 85 86 73; 80 73 86 87 74; 81 74 87 88 75;
82 75 88 89 76; 83 76 89 90 77; 84 77 90 91 78;
ELEMENT PROPERTY
1 TO 84 THICKNESS 0.1
DEFINE MATERIAL START
ISOTROPIC MATERIAL1
E 1e+07
POISSON 0.3
DENSITY 0.1
END DEFINE MATERIAL
CONSTANTS
MATERIAL MATERIAL1 ALL
SUPPORTS
* centre of circle
1000 FIXED BUT FZ MX
* Interior nodes
2 TO 12 15 TO 25 28 TO 38 41 TO 51 54 TO 64 67 TO 77 FIXED BUT FZ MX MY
* nodes along circumference
79 TO 91 FIXED BUT MX MY
* nodes along diameter except the two at the ends of the diameter.
1 13 14 26 27 39 40 52 53 65 66 78 FIXED BUT FZ MX
LOAD 1
SELFWEIGHT X 1 
SELFWEIGHT Y 1 
SELFWEIGHT Z 1 
MODAL CALCULATION REQUESTED
PERFORM ANALYSIS
FINISH

Output

               CALCULATED FREQUENCIES FOR LOAD CASE       1
       MODE            FREQUENCY(CYCLES/SEC)         PERIOD(SEC)
         1                      46.060                  0.02171 
         2                     130.258                  0.00768 
         3                     239.541                  0.00417 
         4                     281.276                  0.00356 
         5                     372.181                  0.00269 
         6                     465.744                  0.00215 
            MODAL WEIGHT (MODAL MASS TIMES g) IN POUN         GENERALIZED
      MODE           X             Y             Z              WEIGHT
         1       0.000000E+00  0.000000E+00  1.059398E+00    4.564771E-01
         2       0.000000E+00  0.000000E+00  2.104938E-10    3.962529E-01
         3       0.000000E+00  0.000000E+00  1.860194E-07    3.955216E-01
         4       0.000000E+00  0.000000E+00  1.283185E-01    1.772033E-01
         5       0.000000E+00  0.000000E+00  1.027554E-08    4.245384E-01
         6       0.000000E+00  0.000000E+00  8.078691E-10    2.167333E-01
 MASS PARTICIPATION FACTORS 
                     MASS  PARTICIPATION FACTORS IN PERCENT
                     --------------------------------------
           MODE    X     Y     Z     SUMM-X   SUMM-Y   SUMM-Z
             1     0.00   0.00  86.75    0.000    0.000   86.754
             2     0.00   0.00   0.00    0.000    0.000   86.754
             3     0.00   0.00   0.00    0.000    0.000   86.754
             4     0.00   0.00  10.51    0.000    0.000   97.262
             5     0.00   0.00   0.00    0.000    0.000   97.262
             6     0.00   0.00   0.00    0.000    0.000   97.262