V. 梁的模态响应

计算梁的自振频率，并将理论解与 STAAD.Pro的解进行比较。

References

铁木辛柯，S.， Vibration Problems in Engineering，第三版， D. Van Nostrand Company, Inc., 1955年，第322页

Details

计算简支梁弯曲运动的前五个自振频率及相应的振型。

Figure 1. 简支梁示意图
L = 20 in
Figure 2. 有限元模型

简支梁被划分为二十个跨向梁单元。在节点1和21处，除绕Z轴转动外的所有自由度均被约束。对于其余节点，仅允许沿Y方向的平移和绕Z轴的转动。模型中排除了剪切变形和转动惯量。质量矩阵为对角矩阵。

Calculations

截面属性

矩形截面：宽1英寸 x 高2英寸

Area = 2 in2

where

a
=
2
b
=
1
J
=
0.4578 英寸4
I2
=
1×23/12 英寸4
I3
=
2×13/12 英寸4

理论结果

对于两端铰接的均匀梁，自振弯曲频率由下式给出：

where

fn
=
第n阶振型的自振频率，单位：循环每秒
l
=
梁的跨度
E
=
弹性模量
I
=
截面惯性矩
g
=
重力常数
A
=
截面面积
γ
=
重量密度
频率方程中使用的参数为：
  • l = 20 in
  • E = 10x106 psi
  • I = 0.6667 in4
  • g = 386.4 in/s2
  • A = 2.0 in2
  • γ = 0.1 lbs/in3

由此得出：

fn = n2× 445.686

Results

下表显示了从理论方程和 STAAD.Pro中可用的子空间迭代法计算的自振频率。频率单位为循环每秒。

Table 1. 结果比较
振型编号 理论值 STAAD.Pro 差异
1 445.686 445.506 可忽略
2 1,782.74 1,782.012 可忽略
3 4,011.17 4,009.410 可忽略
4 7,130.97 7,127.250 可忽略
5 11,142.1 11,134.253 可忽略

Input

文件 C:\Users\Public\Public Documents\STAAD.Pro 2026\Samples \Verification Models\08 Dynamic Analysis\Modal Response of a Beam.STD 通常随程序安装。

STAAD

STAAD PLANE 
START JOB INFORMATION
ENGINEER DATE 14-Sep-18
END JOB INFORMATION
* Natural modes of a simple beam
UNIT INCHES POUND
JOINT COORDINATES
1 0 0 0; 2 1 0 0; 3 2 0 0; 4 3 0 0; 5 4 0 0; 6 5 0 0; 7 6 0 0; 8 7 0 0;
9 8 0 0; 10 9 0 0; 11 10 0 0; 12 11 0 0; 13 12 0 0; 14 13 0 0;
15 14 0 0; 16 15 0 0; 17 16 0 0; 18 17 0 0; 19 18 0 0; 20 19 0 0;
21 20 0 0;
MEMBER INCIDENCES
1 1 2; 2 2 3; 3 3 4; 4 4 5; 5 5 6; 6 6 7; 7 7 8; 8 8 9; 9 9 10;
10 10 11; 11 11 12; 12 12 13; 13 13 14; 14 14 15; 15 15 16; 16 16 17;
17 17 18; 18 18 19; 19 19 20; 20 20 21;
MEMBER PROPERTY AMERICAN
1 TO 20 PRIS AX 2 IZ 0.6667
DEFINE MATERIAL START
ISOTROPIC MATERIAL1
E 1e+07
POISSON 0.3
DENSITY 0.1
END DEFINE MATERIAL
CONSTANTS
MATERIAL MATERIAL1 ALL
CUT OFF MODE SHAPE 5
SUPPORTS
1 21 FIXED BUT MZ
2 TO 20 FIXED BUT FY MZ
LOAD 1
SELFWEIGHT X 1 
SELFWEIGHT Y 1 
MODAL CALCULATION REQUESTED
PERFORM ANALYSIS
FINISH

Output

               CALCULATED FREQUENCIES FOR LOAD CASE       1
       MODE            FREQUENCY(CYCLES/SEC)         PERIOD(SEC)
         1                     445.506                  0.00224 
         2                    1782.012                  0.00056 
         3                    4009.410                  0.00025 
         4                    7127.250                  0.00014 
         5                   11134.253                  0.00009 
            MODAL WEIGHT (MODAL MASS TIMES g) IN POUN         GENERALIZED
      MODE           X             Y             Z              WEIGHT
         1       0.000000E+00  3.228953E+00  0.000000E+00    2.000000E+00
         2       0.000000E+00  6.313263E-28  0.000000E+00    2.000000E+00
         3       0.000000E+00  3.469944E-01  0.000000E+00    2.000000E+00
         4       0.000000E+00  3.242349E-30  0.000000E+00    2.211146E+00
         5       0.000000E+00  1.165685E-01  0.000000E+00    2.000000E+00
 MASS PARTICIPATION FACTORS 
                     MASS  PARTICIPATION FACTORS IN PERCENT
                     --------------------------------------
           MODE    X     Y     Z     SUMM-X   SUMM-Y   SUMM-Z
             1     0.00  84.97   0.00    0.000   84.972    0.000
             2     0.00   0.00   0.00    0.000   84.972    0.000
             3     0.00   9.13   0.00    0.000   94.104    0.000
             4     0.00   0.00   0.00    0.000   94.104    0.000
             5     0.00   3.07   0.00    0.000   97.171    0.000